Двигатель лагранжа


08

8. Принцип наименьшего действия. Уравнения Лагранжа. Канонические уравнения Гамильтона.

Обобщенные координаты

Связь – это ограничение движения тела. ( Ограничения: например- тело находится на плоскости z=h).

Определение: Если ограничения накладываемые связями могут быть выражены в виде равенства, связывающего координаты частиц и время, т.е. f(1, 2, …n, t)=0 то такие связи называются голономными.

Связи вносят в решение механических задач трудности, т.к. не все переменные в уравнениях Ньютона оказываются независимыми, кроме того, возникают реакции связи.

Трудности, накладываемые голономными связями можно разрешить, если ввести обобщенные координаты. Для определения положения системы из N материальных точек в пространстве надо задать N радиус-векторов, т.е. 3N координат. Если на систему наложены голономные связи, выражаемые k уравнениям, то мы можем с их помощью исключить k координат из общего числа и получить, таким образом, 3N-k независимых координат. Число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы наз. числом ее степеней свободы, в дан. случае их S=3N-k. Исключение зависимых координат может быть произведено и другим путем. Он состоит в том, что вводят S независимых координат q1, q2, q3, ….., qs, характеризующих положение системы (с S степенями свободы). Такие координаты называются обобщенными координатами,

Пр. Тело движется на плоскости – 2 степени свободы, значит q1=x, q2=y.

Обобщенные координаты могут быть любыми, но требования к ним следующие:

  1. чтобы их количество должно = количеству степеней свободы

  2. задание обобщенных координат полностью описывало положение точки.

Пр.:-обобщенная координата при движении математического маятника.

Производные обобщенных координат по времени 1, 2, …., sназ. обобщенными скоростями.

В дальнейшем для краткости мы будем чисто условно будем понимать под q совокупность всех координат q1, q2, q3, ….., qs и под аналогично совокупность всех ее скоростей1, 2, …., s.

Принцип наименьшего действия. Одновременное задание всех координат и скоростей в классической механике полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат обобщенных q и обобщенных скоростей в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускоренийв этот момент. Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называютсяуравнениями движения. По отношению к функциям это дифференциальные уравнения второго порядка, интегрирование которых позволяет в принципе определить эти функции, т.е. траектории движения механических систем. Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемымпринципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу, каждая механическая система характеризуется определенной функцией L(q1, q2, q3, ….., qs,1, 2, …., n, t).

Или, к краткой записи, , Функцияопределяет состояние системы в целом и называетсяфункцией Лагранжа. Движение системы удовлетворяет следующему условию. Пусть в моменты времени исистема занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координати. Тогда между этими положениями система движется таким образом, что интегралимел наименьшее возможное значение. ВеличинаS называется действием. Тот факт, что функция Лагранжа содержит только q и , но не более высокие производныеи т.д., является выражением указанного ранее факта, что механическое состояние полностью определяется заданием координат и скоростей. Действие является функционалом. Для нахождения минимума функционала, нужно взять вариацию функционала и приравнять к нулю. Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде

Произведя варьирование, можно получить уравнение Лагранжа

При наличии нескольких степеней свободы в принципе наименьшего действия должны независимо варьироваться s неизвестных функций . Очевидно, мы получим систему изs уравнений

Функция Лагранжа системы материальных точек.

L=- U (q1, q2, q3, ….., qs, t) U (q1, q2, q3, ….., qs, t)- потенциальная энергия. =T-кинетическая энергия.

Зная функцию Лагранжа, можно получить уравнение движения.

Пример 1. Точка движется в декартовой системе координат. Система имеет 3 степени свободы, достаточно 3 координат- x, y, z. .Составим функцию Лагранжа:

T=, U=U(x, y, z). ,

Система уравнений Лагранжа -

, ,,,,

Известно, что для потенциальных сил

При подстановке вычисленных производных в систему уравнений Лагранжа, получим

Fx

Fy- 2 з-н Ньютона.

Fz

В теоретической механике существует понятие -=Qi, которая наз. обобщенной силой.

Пример 2. Точка движется в полярной системе координат на плоскости. Система имеет 2 степени свободы, достаточно 2 координат- r и . Составим функцию Лагранжа:

Вычислим скорость

T=, U=U( r, ).

Система уравнений Лагранжа -

Где-проекция силы на радиальную ось,-модуль центробежной силы,-проекция момента силы наz. При подстановке вычисленных производных в систему уравнений Лагранжа, получим , то есть - основное уравнение вращательного движения- момент инерции,проекция ускорения на осьz.

Пример 3. Покажем метод решения задач по механике с помощью уравнения Лагранжа. В качестве обобщенной координаты примем угол отклонения маятника от положения равновесия . Составим функцию Лагранжа. Воспользуемся формулой скорости в полярной системе координат. Учтем, что точка движется по окружности с радиусом, равным длине нити.,T=, U=,

Уравнений Лагранжа -

Вычисляем производные: ,

При подстановке вычисленных в систему уравнений Лагранжа, получим

То есть получили широко известное уравнение математического маятника

Преимущества вариационной концепции.

1. 2 закон Ньютона был выведен из опыта. Эксперимент может давать погрешности, поэтому теоретический вывод 2-ого закона Ньютона был необходимым, он более строгий.

2. Количество уравнений Лагранжа меньше, чем система уравнений Ньютона.

3. В уравнениях Лагранжа не нужно учитывать связи.

4. Уравнения Лагранжа являются более общими.

Определение: Под обобщенным импульсом или обобщенным количеством движения понимают величину Pi=,L- функция Лагранжа, - обобщенная координата. Каждой координатесоответствует свой обобщенный импульс.

Пример. Если - декартовая координатаx. L=- U(x), = =Px проекция обычного импульса на ось z.

Канонические уравнения Гамильтона.

Формулирование законов механики с помощью функции Лагранжа предполагает описание механического описания системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей. Такое описание не является единственно возможным. В подходе Гамильтона задание положения системы осуществляется с помощью обобщенных координат и обобщенных импульсов. Вводится функция Гамильтона по формуле или -Функция Гамильтона или гамильтониан.

Физический смысл гамильтониана в классической механике – полная энергия системы, то есть . Уравнения движения в переменныхp и q: и- канонические уравнения Гамильтона.Они составляют систему 2s дифференциальных уравнений первого порядка для 2s неизвестных функций и, заменяющих собойs уравнений второго порядка лагранжевого метода.

3

studfiles.net

definition of Лагранжева_механика and synonyms of Лагранжева_механика (Russian)

Лагранжева механика является переформулировкой классической механики, введённой Лагранжем в 1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизирует действие — интеграл от функции Лагранжа по времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности между кинетической энергией и потенциальной энергией.

Это значительно упрощает множество физических задач. Например, рассмотрим бусинку на обруче. Если вычислять движение, используя второй закон Ньютона, то нужно записать сложный набор уравнений, принимающих во внимание все силы, действующие на обруч со стороны бусинки в каждый момент времени. С использованием лагранжевой механики решение той же самой проблемы становится намного проще. Нужно рассмотреть все возможные движения бусинки по обручу, и математически найти то, которое минимизирует действие. Здесь меньше уравнений, так как не надо непосредственно вычислять влияние обруча на бусинку в данный момент. Правда, в данной задаче уравнение всего одно, и его можно получить также из закона сохранения механической энергии.

  Уравнения Лагранжа

  Вывод уравнений

Уравнения движения в лагранжевой механике — уравнения Лагранжа, также известные как уравнения Эйлера — Лагранжа. Ниже мы рассмотрим схематический вывод уравнения Лагранжа из законов движения Ньютона. Смотрите ссылки для более детальных и более общих выводов.

Рассмотрим единственную частицу с массой и радиус-вектором . Предполагаем, что силовое поле , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):

Такая сила не зависит от производных , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — (декартовы компоненты в данный момент времени).

Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, , и их производными, обобщёнными скоростями . Радиус-вектор связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:

где  — число степеней свободы системы.

Например, для плоского движения математического маятника длиной логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид

Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.

Рассмотрим произвольное смещение частицы. Работа, совершаемая приложенной силой , равна . Используя второй закон Ньютона, запишем:

Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,

Левая сторона равенства более сложна, но после некоторых перестановок мы получим:

где  — кинетическая энергия частицы. Уравнение для работы запишется в виде

Это выражение должно быть верно для любых изменений , поэтому

для каждой обобщённой координаты . Можно и дальше упростить это выражение, если заметить, что  — функция только и , и  — функция обобщённых координат и . Тогда не зависит от обобщённых скоростей:

Вставляя это в предыдущее уравнение и заменяя , получим уравнения Лагранжа:

Так же, как и уравнения Ньютона, уравнения Лагранжа являются уравнениями второго порядка, что следует из их вывода. Для каждой обобщённой координаты есть одно уравнение Лагранжа. Когда (то есть обобщённые координаты — просто декартовы координаты), можно легко проверить, что уравнения Лагранжа сводятся ко второму закону Ньютона.

Вышеприведённый вывод может быть обобщён на систему из частиц. Тогда будет обобщённых координат, связанных с координатами положения уравнениями преобразования. В каждом из уравнений Лагранжа,  — полная кинетическая энергия системы, и полная потенциальная энергия.

Практически, часто легче решить проблему, используя уравнения Эйлера — Лагранжа, а не законы Ньютона, потому что соответствующие обобщённые координаты могут быть выбраны с учётом симметрий задачи.

  Примеры задач

Пример: бусинка на кольце   Пример: бусинка на вращающемся кольце  

  Принцип Гамильтона

Действием (обычно обозначают ) называется интеграл по времени от лагранжиана для заданной траектории системы:

Пусть и  — координаты соответственно начальной и конечной точки в моменты времени и . Используя вариационное исчисление, можно показать, что при некоторых слабых условиях (в малой окрестности начальной точки) уравнения Лагранжа эквивалентны принципу Гамильтона:

Траектория движения системы между моментами времени и такова, чтобы действие было стационарным.

Любая такая траектория называется прямым путём между двумя точками. Все остальные пути называются окольными.

Под стационарностью мы подразумеваем, что действие не меняется в первом порядке малости при бесконечно малом изменении траектории, с закреплёнными начальной и конечной точками. Принцип Гамильтона запишется в виде

Таким образом, вместо того, чтобы думать о частицах, ускоряющихся в ответ на приложенные силы, можно рассматривать частицы, «выбирающие» траекторию со стационарным действием.

Принцип Гамильтона обычно называют принципом наименьшего действия. Однако нужно соблюдать осторожность и помнить, что из равенства нулю первой вариации действия следует лишь его стационарность. Легко заметить, что максимального значения функционал действия в классической механике принимать не может, так как частица может пройти тот же самый путь с большей скоростью, при этом её кинетическая энергия на всём пути будет больше, а потенциальная энергия не изменится, то есть действие не ограничено сверху (если не накладывать ограничений на скорости). Однако две точки могут соединяться несколькими путями, на которых действие принимает стационарное значение. Простейший пример — свободное движение точки по сфере, при котором существует бесконечно много равноправных способов попасть в диаметрально противоположную точку. Возможны более сложные случаи, когда точки соединяются несколькими прямыми путями, но значение действия на них различно.

Точка называется сопряжённым кинетическим фокусом для точки , если через и проходят несколько прямых путей.

В буквальном смысле принцип наименьшего действия справедлив лишь локально. А именно, имеет место

  • Теорема Бобылёва[1]: действие вдоль прямого пути имеет наименьшее значение по сравнению с окольными путями, если на дуге нет сопряженного для кинетического фокуса.

  Расширения лагранжевой механики

Гамильтониан, обозначаемый , получается при выполнении преобразований Лежандра над функцией Лагранжа. Гамильтониан — основание для альтернативной формулировки классической механики, известной как гамильтонова механика. Эта функция особенно распространена в квантовой механике (см. Гамильтониан (квантовая механика)).

В 1948 году Фейнман изобрёл формулировку с привлечением интегралов по траекториям и распространил принцип наименьшего действия на квантовую механику. В этой формулировке частицы путешествуют по всем возможным траекториям между начальным и конечным состояниями; вероятность определённого конечного состояния вычисляется суммированием (интегрированием) по всем возможным траекториям, приводящим к нему. В классическом случае формулировка интеграла по траекториям полностью воспроизводит принцип Гамильтона.

  Примечания

  1. ↑ Бобылев Д. К. О начале Гамильтона или Остроградского и о начале наименьшего действия Лагранжа / Приложение к т. LXI Зап. Ак. наук. — СПб., 1889.

  См. также

  Классические работы

  Ссылки

  • Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-Х.
  • Goldstein H. Classical Mechanics. — 2nd edition. — Addison-Wesley, 1980. — pp. 16.
  • Moon F. C. Applied Dynamics With Applications to Multibody and Mechatronic Systems. — Wiley, 1998. — pp. 103—168.

  Внешние ссылки

   

dictionary.sensagent.com

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. Механика от античности до наших дней

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА

Жозеф Луи Лагранж родился в Турине 25 января 1736 г. в семье обедневшего чиновника. Семнадцатилетним юношей Лагранж увлекся математическими науками, а в 1754 г. он уже профессор артиллерийской школы в Турине. Здесь он объединяет своих слушателей и образует научное общество, в дальнейшем превратившееся в знаменитую Туринскую академию.

Эйлер и Даламбер высоко оценили работы Лагранжа. В 1759 г. по их представлению Лагранж был избран членом Берлинской академии наук. С 1776 по 1787 г. он был директором физико-математического класса Берлинской академии наук. В этот период сборники Берлинской академии обогатились целым рядом блестящих работ Лагранжа как по математике, так и по общей и небесной механике.

В 1787 г. Лагранж переехал в Париж, где он в 1788 г. издал свою знаменитую книгу «Аналитическая механика». Элегантность и внутренняя гармоничность методов «Аналитической механики» вполне оправдывает мнение У.Р. Гамильтона, называвшего эту книгу научной поэмой (a kind of scientific poem).

В развитии механики появление «Аналитической механики» Лагранжа было выдающимся событием. В 1813— 1815 гг. этот труд вышел вторым, дополненным изданием и с тех пор несколько раз в течение XIX столетия переиздавался с дополнениями и примечаниями других ученых. Русский перевод в двух томах появился в 1950 г.{172}

Жозефу Лагранжу принадлежат многие выдающиеся работы по механике. С его именем до первого издания «Аналитической механики» связаны исследования о задаче трех тел, о применении в механике принципа наименьшего действия, о задаче вращения твердого тела вокруг неподвижной точки («гироскоп Лагранжа»), по теории волн на поверхности жидкости и др.

Как в этот период, так и после первого издания своего трактата Лагранж занимался небесной механикой и получил в этой области немало важных результатов: по расчету орбит планет и комет, по общим методам решения уравнений, определяющих движение тел Солнечной системы. В «Аналитическую механику» включены многие замечательные достижения Лагранжа, но она вошла бы в историю науки даже без них, благодаря оригинальности системы изложения и единству метода, использованного ее автором. В предисловии к первому изданию Лагранж с полным основанием писал, что «существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи». И с законным удовлетворением Лагранж добавил к этому: «Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставляет желать чего-либо лучшего». Поэтому особенно поучительно познакомиться с тем, на основе каких исходных положений и какими средствами Лагранж создал стройную систему своей (аналитической) механики.

Сам Лагранж характеризовал свои методы таким образом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все, любящие анализ (подразумевается математический анализ, анализ бесконечно малых. — А. Г.), с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения»{173}. Эта характеристика, если принять ее безоговорочно, означает, что аналитическая механика Лагранжа является ветвью анализа, что она механика, лишенная «механических рассуждений», так как в ней указаны общие методы для составления уравнений любой задачи механики, после чего решение становится чисто математической проблемой.

Изданием в 1736 г. «Механики» Эйлер заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики хотя pi решаются средствами анализа бесконечно малых, однако каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того сочинение Эйлера 1736 г. — это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как мы уже знаем, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил механику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствующих математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, экспериментальных положений. Каковы эти положения? И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики?

ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ (1736-1813)

Французский математик и механик. Он заложил основы аналитической механики. Ему принадлежат выдающиеся исследования во многих областях математики 

Ответы на эти вопросы познакомят нас с тем, что действительно можно назвать механикой Лагранжа. Эта механика делится на две части: статику и динамику. Статика у Лагранжа основана на принципе виртуальных (возможных) скоростей. «Под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тог момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения». Принцип виртуальных скоростей формулируется так: «Если какая-либо система любого числа тел, или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, в которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении считать отрицательными»{174}.

Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил друг к другу обратно отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении сил. Это положение, взятое в общем виде, и составляет принцип виртуальных скоростей, который «можно рассматривать как своего рода аксиому механики». Впрочем, Лагранж дал и два доказательства принципа виртуальных скоростей, но, разумеется, эти доказательства состоят в том, что этот принцип сводится к другим положениям статики. Наиболее известно доказательство, приведенное во втором издании «Аналитической механики». Оно основано на «принципе блоков». Считая последний принцип вполне наглядным, Лагранж рассматривал его как естественное основание для принципа виртуальных скоростей.

В динамике Лагранж исходит из двух законов: закона инерции и закона сложения движений (по правилу параллелограмма). Второй закон механики Ньютона Лагранж как бы выводит из этих двух следующим образом. В равномерно ускоренном движении существует постоянное отношение между скоростями и временами. Это отношение принимается за меру ускоряющей силы, непрерывно действующей на тело, — ведь эта сила может быть измерена только по такому ее действию. В общем же случае, «каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения, но, согласно природе дифференциального исчисления, мы можем признать постоянным действие каждой ускоряющей силы в течение бесконечно малого времени, таким образом всегда можно определить величину силы, действующей на тело в любое мгновение, если вызванную в это мгновение скорость сравнить с продолжительностью этого мгновения…»{175} Эту схему перехода от равномерно ускоренного движения (Галилей) к общему случаю Лагранж связывает с именем Гюйгенса, построившего теорию центробежных сил. Ньютон, по Лагранжу, обобщил эту теорию Гюйгенса на все кривые линии и тем дополнил учение о неравномерных движениях и об ускоряющих силах, способных их вызвать. Сам Ньютон постоянно пользовался геометрическим методом, но «в настоящее время это учение сводится лишь к нескольким очень простым дифференциальным формулам».

Аналитическая динамика Лагранжа основана на общей формуле, которую сейчас называют уравнением Даламбера—Лагранжа или общим уравнением динамики. «Развитие» этой формулы, если при этом принять во внимание условия, зависящие от природы системы, дает все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого остается только эти уравнения интегрировать, что является уже задачей анализа»{176}.

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин: кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи: их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирование) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем «Трактате об электричестве и магнетизме», касаясь значения «Аналитической механики» Лагранжа:

«Так как благодаря созданию математической теории динамики развитие идей и методов чистой математики сделало возможным выявление многих истин, которые нельзя было бы открыть, не обучившись математике, то, если мы хотим создать динамическую теорию других наук, мы должны воспринять и эти динамические истины, и математические методы.

Формулируя идеи и термины любой науки, имеющей дело, как паука об электричестве, с силами и с их действиями, мы должны постоянно иметь в виду идеи, являющиеся достоянием основной пауки — динамики, чтобы мы могли с самого начала развития науки избежать противоречий с тем, что уже установлено, а также для того, чтобы с уточнением наших взглядов принятый нами язык нам помогал, а не мешал»{177}.

Принципом наименьшего действия Лагранж много занимался в первые годы своей научной деятельности в связи с работами по вариационному исчислению. При систематическом изложении механики этот принцип отходит у Лагранжа на второй план. Все же существенно было то, что Лагранж формулировал этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при соблюдении определенных условий. Эта формулировка такова: при движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс на интеграл скорости, умноженной на элемент кривой, является максимумом или минимумом — при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные.

Эта формулировка, как видим, приводит к уже знакомой нам записи: обращается в нуль вариация суммы величин вида

m?vds,

где m — масса одной из точек системы, v — ее скорость, ds — элемент пути, или, иначе говоря, бесконечно малый отрезок траектории точки т. К этому Лагранж добавляет, что ds = vdt (dt обозначает тот бесконечно малый промежуток времени, в течение которого точка т проходит путь ds), поэтому вместо m?vds можно написать m?v2dt или ?mv2dt. Тут под знаком интеграла мы видим (удвоенную) живую силу точки, а так как нам надо взять сумму таких величин для всей рассматриваемой механической системы, то в итоге под знаком интеграла окажется (удвоенная) живая сила всей системы в любое мгновение. Таким образом, говорит Лагранж, рассматриваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы.

По мнению Лагранжа, такая формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей как для движения, так и для равновесия, поскольку в статике Лагранж доказывал, что при прохождении положения равновесия живая сила системы бывает наибольшей или наименьшей.

Лагранжу принадлежат также многочисленные работы по механике сплошной среды. В «Аналитической механике» немало места уделено гидростатике, гидродинамике, теории упругости. В этих разделах Лагранж систематизировал все результаты, полученные им и его предшественниками. В теории упругости Лагранж не располагал общими уравнениями (они были выведены позже, в 20-е годы XIX в.) и рассматривал равновесие и колебания около положения равновесия упругих тел одномерных или двумерных — типа нити, струны, мембраны. В гидродинамике Лагранж оперировал уравнениями для идеальной жидкости (т. е. совершенно лишенной внутреннего трения), выведенными для него Эйлером.

Математические трудности тут оказались настолько большими, что в общем случае Лагранж мог предложить только приближенный способ решения уравнения движения. Понадобилось немало времени, чтобы с помощью новых математических методов добиться дальнейших результатов там, где вынужден был остановиться такой гениальный ученый, как Лагранж.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

fis.wikireading.ru

19. Задача Лагранжа на условный экстремум при дифференциальных связях.

50. Система уравнений Эйлера – Лагранжа при дифференциальных связях.

Утверждение теоремы 1 (из 18 вопроса) остается верным и в более широких предположениях, когда уравнения задаются дифференциальными уравнениями

(11)

Будем считать, что сущствует отличный от 0 якобиан порядка m

Тогда из системы диф уравнений 11 можно определить функции у1, у2, …уmчерез независимые функции уm+1, уm+2, …уn

Теорема 2. если система функций у1(х), уn(х), удовлетворяющая уравнениям связи 11 и граничным условиям 2 (из вопроса 18), дает экстремум функционали 1, то существуют такие функцииλm(x), что функции у1, у2, …уnявляются экстремалями функционала

(12)

17 47. Уравнение Эйлера - Пуассона.

Поставим задачу — отыскать функцию f(x), для которой первая вариация функционала обращается в нуль:

(59)

Функция f(x) в этом случае называется экстремалью, а значение J(f) — экстремумом функционала.

Равенство (58) не дает сразу ответа для поставленной задачи, так как подынтегральные члены разнородны. Преобразуем правую часть уравнения (58) с помощью интегрирования по частям. Предварительно отметим

(60)

Подобные преобразования дают

(61)

Повторяя интегрирование по частям в последнем члене равенства (61), находим

Теперь условие (59) можно записать так:

Равенство (63) должно быть справедливым для произвольной вариации δf. В частности, если рассматривать вариации δfи δf‘обращающиеся в нуль на концах интервала, а в промежуточных точках произвольные, то интеграл будет равен нулю только при условии

Это и есть дифференциальное уравнение Эйлера — Пуассона для функции f(x). Опять же в силу произвольности вариации δfдолжны выполняться краевые условия

1. Математическая постановка задачи оптимального управления.

1.Задача оптимального управления.Рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть имеется двигатель постоянного тока, который работает на механизм М.

Таким механизмом может быть, например, танковая башня. Движением двигателя можно управлять, изменяя напряжение , подводимое к цепи якоря (напряжение будем считать постоянным).

Из условия электрической прочности напряжение, подводимое к цепи якоря, должно быть ограничено:

Пусть требуется осуществить поворот вала двигателя на некоторый заданный угол. Интуитивно ясно, что существует бесконечное множество функцийкоторые решают поставленную задачу, т. е. обеспечивают поворот вала двигателя на заданный угол.

Но тогда естественно поставить ещё одну задачу: среди функций , решающих первую задачу, найти наилучшую в каком - либо смысле, например, осуществляющую поворот на заданный угол за минимально возможное время или с минимальной затратой энергии.

Сформулируем задачу оптимального управления.

Рассмотрим объект или процесс, который описывается системой дифференциальных уравнений

или векторным уравнением

и -n-мерные векторы,-m-мерный вектор управления. Вектор xназывают фазовым вектором системы или вектором состояния.

Будем полагать, что вектор управления uможет принимать свои значения из некоторого множестваU.Uможет быть любым множествомm-мерного евклидова пространства, например, оно может состоять из совокупности изолированных точек. На рис. 2.2 приm=2 изображён пример множестваU, состоящего из четырёх изолированных точек.

В этом, кстати, заключается существенное отличие принципа максимума от вариационного исчисления. Из-за принятого способа построения вариаций в вариационном исчислении Uможет быть только областью в классическом смысле этого слова, т. е. когда оно удовлетворяет свойству связности.

Будем предполагать, что в уравнениях (2.1) функции непрерывны по всем своим переменным и непрерывно дифференцируемы по переменным. В качестве допустимых управлений рассматриваются кусочно-непрерывные функции, удовлетворяющие условию.

Векторное пространство с декартовыми координатами будем называть фазовым пространством системы (2.1) и обозначатьX.

Каждому вектору xв фазовом пространстве соответствует некоторая точка (фазовая точка).

Если задан вектор u(t) и начальное условие, то систему уравнений (2.1) можно решить.

Разным вектор-функциям u(t) будут соответствовать различные решенияx(t) уравнений (2.1), т. е. выбором вектораu(t) можно управлять движением системы. Решениюв фазовом пространствеXсоответствует некоторая линия, которая называется фазовой траекторией системы.

Пусть в фазовом пространстве Xзаданы две точкии.

Рассмотрим следующую задачу. Требуется среди допустимых управлений , т. е. кусочно-непрерывных вектор-функций(моменты и не фиксированы), переводящих фазовую точку системы (2.1) из заданного начального положенияв заданное конечное положениепереводящих фазовую точку системы (2.1) из заданного начального положения в заданное конечное положение , найти управление и траекторию, доставляющие минимум функционалу

(2.2)

Управление u(t) и траекторияx(t), решающие поставленную задачу, называютсяоптимальными.

studfiles.net

Моделирование динамических систем (метод Лагранжа и Bond graph approach) / Хабрахабр

Всем доброго дня. В данной статье хочу показать один из графических методов построения математических моделей для динамических систем, который называется Bond graph («bond» — связи, «graph» — граф). В русской литературе, описания данного метода, я нашел только в Учебном пособии Томского политехнического университета, А.В. Воронин «МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ» 2008 г. Также показать классический метод через уравнение Лагранжа 2 рода.

Метод Лагранжа

Я не буду расписывать теорию, покажу этапы расчётов и с небольшими комментариями. Лично мне легче учиться на примерах, чем 10 раз читать теорию. Как мне показалось, в русской литературе, объяснение данного метода, да и вообще математики или физики, очень насыщено сложными формулами, что соответственно требует серьезного математического бэкграунда. Во время изучения метода Лагранжа (учусь в Туринском политехническом университет, Италия), я изучал русскую литературу, чтобы сопоставить методики расчётов, и мне было тяжело следить за ходом решения данного метода. Даже вспоминая курсы по моделированию в «Харьковском авиационном институте», вывод подобных методов был очень громоздким, и никто не затруднял себя в попытке разобраться в этом вопросе. Вот этому я решил написать, методичку для построения мат моделей по Лагранжу, как так оказалось это совсем не сложно, достаточно знать как считать производные по времени и частные производные. Для моделей по сложнее еще добавляются матрицы поворота, но в них тоже нет ничего сложного.

Особенности методов моделирования:

  • Ньютона-Эйлера: векторные уравнения, основанные на динамическом равновесии сил (force) и моментов (moments)
  • Лагранжа: скалярные уравнения, основанные на функциях состояния связанных с кинетической и потенциальной энергией (energies)
  • Бонд-граф: метод основанный на течении мощности (power) между элементами системы

Начнем с простого примера. Масса с пружиной и демпфером. Пренебрегаем силой тяжести.

Рис 1. Масса с пружиной и демпфером

Первым делом обозначаем:

  • начальную системы координат (НСК) или неподвижную ск R0(i0,j0,k0). Где? Можно тыкнуть пальцем в небо, но подёргав кончиками нейронов в мозгу, проходит идея поставить НСК на линии движения тела М1.
  • системы координат для каждого тела с массой (у нас М1 R1(i1,j1,k1)), ориентация может быть произвольной, но зачем усложнять себе жизнь, ставим с минимальным отличием от НСК
  • обобщеные координаты q_i (минимальное количество переменные которыми можно описать движение), в данном примере одна обобщенная координата, движение только вдоль оси j
Рис 2. Проставляем системы координат и обобщенные координаты

Далее найдем положение и скорости всех тел. В данном примере одно тело М1:

Рис 3. Позиция и скорость тела М1

После найдем кинетическую (С) и потенциальную (Р) энергии и диссипативную функцию (D) для демпфера по формулам:

Рис 4. Полная формула кинетической энергии

В нашем примере вращения нет, вторая составляющая равна 0.

Рис 5. Расчет кинетической, потенциальной энергии и диссипативной функции

Уравнение Лагранжа имеет следующий вид:

Рис 6. Уравнение Лагранжа и Лагранжиан

Дельта W_i это виртуальная работа совершенная приложенными силами и моментами. Найдем ее:

Рис 7. Расчет виртуальной работы

где дельта q_1 виртуальное перемещение.

Подставляем всё в уравнение Лагранжа:

Рис 8. Полученная модель массы с пружинной и демпфером

На этом метод Лагранжа закончился. Как видно не так сложно, но это все же очень простой пример, для которого скорее всего метод Ньютона-Эйлера даже был бы проще. Для более сложных систем, где будет несколько тела, повернутые друг относительно друга на разные угол, метод Лагранжа будет легче.

Сразу покажу так выглядит модель в bond-graph для примера с массой пружиной и демпфером:Рис 9. Bond-graph массы с пружинной и демпфером

Здесь придётся рассказать немного теории, которой хватит для построения простых моделей. Если кто нибудь заинтересован можете почитать книгу ([Wolfgang Borutzky] Bond Graph Methodology) или (Воронин А.В. Моделирование мехатронных систем: учебное пособие. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2008).

Определим для начала, что сложные системы состоят из нескольких доменов. Например электродвигатель состоит из электрической и механической частей или доменов.

Bond graph основан на обмене мощности между этими доменами, подсистемами. Заметим, что обмен мощностью, любой формы, всегда определяется двумя переменными (переменные мощности) с помощью которых, мы можем изучать взаимодействие различных подсистем в составе динамической системы (см. таблицу).

Как видно из таблицы выражение мощности везде практически одинаковое. В обобщении, Мощность — это произведение «потока — f» на «усилия — e».

Усилие (англ. effort) в электрическом домене это напряжение (e), в механическом — сила (F) или момент (T), в гидравлике – давление (p).

Поток (англ. flow) в электрическом домене это ток (i), в механическом — скорость (v) или угловая скорость (omega), в гидравлике – поток или расход жидкости (Q).

Принимая данные обозначения, получаем выражение для мощности:

Рис 10. Формула мощности через мощностные переменные

В языке bond-graph соединение между двумя подсистемами которые обмениваются мощностью представлена связью (англ. bond). По этому и называется данный метод bond-graph или граф-связей, связной граф. Рассмотрим блок-диаграмму связей в модели с электродвигателем (это еще не bond-graph):

Рис 11. Блок-диарамма потока мощности между доменами

Если у нас источник напряжения, то соответственно он генерирует напряжение и отдает его двигателю на отмотки (по этому стрелка направлена в сторону двигателя), в зависимости от сопротивления обмотки появляется ток по закону Ома (направлен от двигателя к источнику). Соответственно одна переменная является входом в подсистему, а вторая необходима должна быть выходом из подсистемы. Здесь напряжение (effort) – вход, ток (flow) – выход.

Если использовать источник тока, как поменяется диаграмма? Правильно. Ток будет направлен к двигателю, а напряжение к источнику. Тогда ток (flow) – вход, напряжение (effort) – выход.

Рассмотрим пример в механике. Сила, действующая на массу.

Рис 12. Сила приложенная к массе

Блок-Диаграмма будет следующей:

Рис 13. Блок-диаграмма

В этом примере, Сила (effort) – входная переменная для массы. (Сила приложена к массе) По второму закону Ньютона:

Масса отвечает скоростью:

В этом примере если одна переменная (сила — effort) является входом в механический домен, то другая мощностная переменная (скорость — flow) – автоматически становится выходом.

Что бы различать, где вход, а где выход, используется вертикальная линия на конце стрелки (связи) между элементами, эту линию называют знак причинности или причинная связь (causality). Получается: приложенная сила – причина, а скорость — следствие. Этот знак очень важен для правильного построения модели системы, так как причинность — это следствие физического поведения и обмена мощностями двух подсистем, по этому выбор расположения знака причинности не может быть произвольным.

Рис 14. Обозначение причинной связи

Эта вертикальная линия показывает какая подсистема получает усилие (effort) и как следствие производить поток (flow). В примере с массой будет так:

Рис 14. Причинна связь для силы действующей на массу

По стрелке понятно что на вход для массы — сила, а выход — скорость. Это делается, что бы не загромождать стрелками схему и систематизации построения модели.

Следующий важный момент. Обобщённый импульс (количество движения) и перемещение (энергетические переменные).

Таблица мощностных и энергетический переменных в разных доменах Таблица выше вводит две дополнительные физические величины, используемые в методе bond-graph. Они называются обобщенный импульс (р) и обобщенное перемещение (q) или энергетические переменные, и получить их можно интегрированием мощностных переменных по времени:Рис 15. Связь между мощностными и энергетическими переменными

В электрическом домене:

Исходя из закона Фарадея, напряжение на концах проводника равняется производной от магнитного потока через этот проводник.

А Сила тока — физическая величина, равная отношению количества заряда Q, прошедшего за некоторое время t через поперечное сечение проводника, к величине этого промежутка времени.Механический домен:

Из 2 закона Ньютона, Сила – производная по времени от импульса

И соответственно, скорость — производная по времени от перемещения:Обобщим:
Базовые элементы
Все элементы в динамических системах, можно разделить на двухполюсные и четырехполюсные компоненты. Рассмотрим двухполюсные компоненты:

Источники Источники бывают как усилия, так и потока. Аналогия в электрическом домене: источник усилия – источник напряжения, источник потока – источник тока. Причинные знаки для источников должны быть только такие.

Рис 16. Причинные связи и обозначение источников

Компонент R – диссипативный элемент

Компонент I – инерциальный элемент

Компонент C – емкостной элемент

Как видно из рисунков, разные элементы одного типа R,C,I описываться одинаковыми уравнениями. ТОЛЬКО есть отличие для электрической емкости, это нужно просто запомнить!

Четырёхполюснике компоненты:

Рассмотрим два компонента трансформатор и гиратор.

  1. Идеальный Трансформатор (TF) связывает величины одного типа между входом и выходом Формулы описывающая трансформатор из рисунка а и b соответственно: Причинные знаки ставиться только как показано ниже Вот так нельзя:Примеры трансформатора в механическом домене может быть зубчатая передача, Рычаг Обычный трансформатор — в электричестве. Гидравлический поршень – в гидравлике.
  2. Гиратор (GY). Идеальный Гиратор связывает поток с одной стороны с усилием с другой. Формулы: Допустимая причинность для гиратора: Ошибочная причинность: Примеры гираторов: в механике это двигатель постоянного тока, в электронике — соленоид (линейный актуатор).

Последними важными компонентами в методе bond-graph выступают соединения. Существует два типа узлов:

На этом с компонентами закончили.

Основные этапы для проставления причинных связей после построения bond-graph:

  1. Проставить причинные связи всем источникам
  2. Пройтись по всем узлам и проставить причинные связи после пункта 1
  3. Для компонентов I присвоить входную причинную связь (усилие входит в этот компонент), для компонентов С присваиваем выходную причинную связь (усилие выходит из этого компонента)
  4. Повторить пункт 2
  5. Проставить причинные связи для компонентов R
На этом мини-курс по теории закончим. Теперь у нас есть все необходимое для построения моделей. Давайте решим пару примеров. Начнем с электрической цепь, лучше понять аналогию построения bond-graph.Пример 1 Начнем построение bond-graph с источника напряжения. Просто пишем Se и ставим стрелку. Видите все просто! Смотрим далее, R и L соединены последовательно, значить в них течет одинаковый ток, если говорить в мощностных переменных – одинаковый поток. Какой узел имеет одинаковый поток? Правильный ответ 1-узел. Присоединяем к 1-узлу источник, сопротивление (компонент — R) и индуктивность (компонент — I). Далее у нас емкость и сопротивление в параллели, значить они имеют одинаковое напряжение или усилие. 0-узел подойдет как никто другой. Соединяем емкость (компонент С) и сопротивление (компонент R) к 0-узлу. Узлы 1 и 0 тоже соединяем между собой. Направление стрелок выбирается произвольное, направление связи влияет только на знак в уравнениях.

Получиться следующий граф связей:

Теперь нужно проставить причинные связи. Следуя указаниям по последовательности их проставления, начнем с источника.

  1. Мы имеем источник напряжения (усилия), такой источник имеет только один вариант причинности – выходную. Ставим.
  2. Далее есть компонент I, смотрим что рекомендуют. Ставим
  3. Проставляем для 1-узла. Есть
  4. 0-узел должен иметь один вход и все выходные причинные связи. У нас есть пока одна выходная. Ищем компоненты С или I. Нашли. Ставим
  5. Проставляем что осталось
Вот и все. Bond-graph построен. Ура, Товарищи!

Осталось дело за малым, написать уравнения, описывающие нашу систему. Для этого составим таблицу с 3 столбцами. В первом будут все компоненты системы, во втором входная переменная для каждого элемента, а в третьем – выходная переменная, для такого же компонента. Вход и выход мы уже определили причинностнными связями. Так что проблем возникнуть не должно.

Пронумеруем каждую связь для удобства записи уровнений. Уравнения для каждого элемента берем из перечня компонентов C,R,I.

Составив таблицу определим переменные состояния, их в данном примере 2, p3 и q5. Далее нужно записать уравнения состояния: Вот и все модель готова. Пример 2. Сразу хочу извениться за качество фото, главное что можно прочитатьРешим еще один пример для механической системы, тот же что мы решали методом Лагранжа. Я показу решение без комментариев. Проверим какой из данных методов проще, легче.

В матбале были составлены обе мат модели с одинаковыми параметрами, полученые методом Лагранжа и bond-graph. Результат ниже:

Итог: для меня bond-graph показался интереснее. По моим наблюдениям, его лучше использовать для комплексных систем (мульти-доменных систем, мехатронных систем). Например, мощный симулятор мульти-доменных систем AMESim, использует этот метод для построения мат моделей. В робототехнике, скорее всего, легче будет метод Лагранжа. Кто пользуется данными методами, буду рад услышать ваши выводы, комментарии.

PS: ссылка на материалы курса. (слайды только по лагранжу, по bond-graph — пользовался в основном, книгой и конспектами, которые только на бумаге)

habrahabr.ru

38Уравнение Лагранжа II-2го рода

Уравнениями Лагранжа второго роданазываютдифференциальные уравнениядвижениямеханической системы, получаемые при применениилагранжева формализма.

Лагранжева механикаявляется переформулировкойклассической механики, введённойЛагранжемв1788 году. В лагранжевой механике траектория объекта получается при помощи отыскания пути, который минимизируетдействие—интегралотфункции Лагранжапо времени. Функция Лагранжа для классической механики вводится в виде разности междукинетической энергиейипотенциальной энергией.

Вид уравнений

Если голономная механическая системаописываетсялагранжианом(—обобщённые координаты,t—время, точкой обозначенодифференцированиепо времени) и в системе действуют толькопотенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где i= 1, 2, …n(n— числостепеней свободымеханической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.

Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где —кинетическая энергиясистемы,—обобщённая сила.

Вывод уравнений

Вернемся к определению обобщенных сил и получим несколько новых формул для их определения.  Придется вспомнить при этом кое-что из курса высшей математики.

Коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении, определяющем сумму работ заданных сил на возможном перемещении системы, ранее в определении были названы обобщенными силами.

Проследим далее за операциями с полученными формулами,   записав  общее уравнение динамики  в обобщенных координатах еще раз.

Такие уравнения можно составить, рассматривая изменение каждой из обобщенных координат.

Число уравнений Лагранжа определяется числом степеней свободы системы. 

Уравнения, по сути, являются алгоритмом получения дифференциальных уравнений движения точки, тела или системы тел в тех обобщенных  координатах, которые выбраны исследователем. 

Для применения этого алгоритма необходимо: 

1)   уметь определять кинетическую энергию системы тел, как функцию обобщенных скоростей, 

2)   уметь определять виртуальную работу сил на каждом из рассматриваемых возможных перемещений

3)   уметь выполнять стандартные, и весьма простые, математические операции  с получаемыми выражениями.

Выполним с этим выражением  те операции  дифференцирования, которые закодированы  в левой части  уравнений Лагранжа

Подставляя в уравнения Лагранжа полученные значения производных и обобщенные силы, получаем дифференциальные  уравнения плоского движения тела.

 

То есть, те же  уравнения, которые мы получили ранее с помощью общих теорем динамики

для механических систем.

studfiles.net

Задачи на тему Уравнения Лагранжа 2-го рода

Нашли ошибку? Сообщите в комментариях (внизу страницы)

48.1 Передача вращения между двумя валами осуществляется двумя зубчатыми колесами, имеющими соответственно z1 и z2 зубцов, моменты инерции валов с насаженными на них колесами соответственно равны J1 и J2. Составить уравнение движения первого вала, если на него действует вращающий момент M1, а на другой вал — момент сопротивления M2. Трением в подшипниках пренебречь.РЕШЕНИЕ

48.2 Барабан Б центрифуги приводится во вращение электродвигателем ЭД через двухступенчатый редуктор. Заданы момент инерции J0 электродвигателя, момент инерции J2 барабана, момент инерции J1 промежуточного вала редуктора, передаточные числа i01 и i12 ступеней редуктора. К ротору электродвигателя приложен вращающий момент M0 и момент сил сопротивления M 0, к валу редуктора и к барабану — моменты сил сопротивления M 1 и M 2 соответственно. Составить дифференциальное уравнение вращения барабана центрифуги.РЕШЕНИЕ

48.3 Привод электромобиля состоит из электродвигателя ЭД и одноступенчатого редуктора с передаточным числом i. Составить дифференциальное уравнение движения электромобиля, если J0 — момент инерции ротора электродвигателя, J1 — момент инерции каждого из четырех колес, имеющих радиус r, m — суммарная масса электромобиля, M — вращающий момент электродвигателя, M — момент сил сопротивления на валу электродвигателя, F — суммарная сила сопротивления движению электромобиля.РЕШЕНИЕ

48.4 Электродвигатель ЭД стабилизирующего привода установлен на вращающейся раме, положение которой задается углом φ. Шестерня 1 на валу электродвигателя обкатывается вокруг шестерни 2, связанной с неподвижным основанием. Составить дифференциальное уравнение движения рамы, если J1 — момент инерции рамы вместе с электродвигателем, J0 — момент инерции ротора электродвигателя, i12 — передаточное число пары шестерен, M0 — вращающий момент электродвигателя, M 0 — момент сил сопротивления на валу электродвигателя, M 1 — момент сил, приложенных к раме вокруг ее оси.РЕШЕНИЕ

48.5 Определить движение груза массы m, висящего на однородном тросе массы m1 и длины l; трос навернут на барабан радиуса a и массы m2; ось вращения горизонтальна; трением пренебречь, массу барабана считать равномерно распределенной по его ободу. В начальный момент t=0 система находилась в покое, длина свисавшей части троса l0.РЕШЕНИЕ

48.6 В эпициклическом механизме бегающая шестеренка радиуса r1 насажена на кривошип с противовесом, вращающийся вокруг оси неподвижной шестеренки под действием приложенного момента M. Определить угловое ускорение вращения кривошипа и окружное усилие S в точке касания шестеренок, если расстояние между осями шестеренок равно l, момент инерции кривошипа с противовесом относительно оси вращения кривошипа равен J0, масса бегающей шестеренки m1, момент инерции шестеренки относительно ее оси J1; трением пренебречь, центр масс шестеренки и кривошипа с противовесом находится на оси вращения кривошипа.РЕШЕНИЕ

48.7 В планетарном механизме колесо с осью O1 неподвижно; к рукоятке O1O3 приложен вращающий момент M; механизм расположен в горизонтальной плоскости. Определить угловое ускорение рукоятки, считая колеса однородными дисками с одинаковыми массами m и радиусами r и пренебрегая массой рукоятки.РЕШЕНИЕ

48.8 Бегуны К, К приводятся в движение от вала двигателя при помощи передачи, схема которой показана на рисунке. Масса одного бегуна равна 3 т, средний радиус R = 1 м, радиус вращения r =0,5 м. Считаем, что мгновенная ось вращения бегуна проходит через среднюю точку C обода. Отношение радиусов колес конической передачи от двигателя к вертикальному валу равно 2/3. Бегун считаем однородным диском радиуса R и пренебрегаем массой всех движущихся частей по сравнению с массой бегунов. Вычислить, какой постоянный вращающий момент должен быть приложен на валу двигателя, чтобы сообщить вертикальному валу угловую скорость 120 об/мин по истечении 10 с от момента пуска двигателя; силами сопротивления пренебречь.РЕШЕНИЕ

48.12 Материальная точка массы m движется под влиянием силы тяжести по циклоидальной направляющей, заданной уравнением s=4a sin φ, где s — дуга, отсчитываемая от точки O, а φ — угол касательной к циклоиде с горизонтальной осью. Определить движение точки.РЕШЕНИЕ

48.13 Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки M массы m, подвешенной на нити, навернутой на неподвижный цилиндр радиуса a. Длина свисающей в положении равновесия части нити равна l. Массой нити пренебречь.РЕШЕНИЕ

48.14 Составить уравнение движения маятника, состоящего из материальной точки массы m, подвешенной на нити, длина которой изменяется по произвольно заданному закону l=l(t).РЕШЕНИЕ

48.15 Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки массы m на нерастяжимой нити длины l, движется по заданному закону ξ=ξ0(t) по наклонной прямой, образующей угол α с горизонтом. Составить уравнение движения маятника.РЕШЕНИЕ

48.16 Два вала, находящихся в одной плоскости и образующих между собой угол a, соединены шарниром Кардана. Моменты инерции валов равны J1 и J2. Составить уравнение движения первого вала, если на него действует вращающий момент M1, а к другому валу приложен момент сопротивления М2. Трением в подшипниках пренебречь.РЕШЕНИЕ

48.17 Кривошипный механизм состоит из поршня массы m1 шатуна AB массы m2, кривошипа OB, вала и махового колеса; J2 —момент инерции шатуна относительно его центра масс С; J3 — момент инерции кривошипа OB, вала и махового колеса относительно оси; Q —площадь поршня, p — давление, действующее на поршень, l— длина шатуна; S — расстояние между точкой А и центром масс шатуна; r —длина кривошипа OB; М — момент сопротивления, действующий на вал. Составить уравнение движения механизма, считая угол поворота шатуна φ малым, т. е. полагая sin φ = φ и cosφ = 1; в качестве обобщенной координаты взять угол поворота кривошипа ф. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.РЕШЕНИЕ

48.18 По однородному стержню массы М и длины 2а, концы которого скользят по гладкой, расположенной в горизонтальной плоскости окружности радиуса R, движется с постоянной относительной скоростью и материальная точка массы т. Определить движение стержня. В начальный момент материальная точка находится в центре масс стержня.РЕШЕНИЕ

48.19 Концы однородного тяжелого стержня AB длины 2a и массы M скользят без трения по горизонтальному и вертикальному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной стороны. Составить уравнение движения стержня и определить положение относительного равновесия.РЕШЕНИЕ

48.20 К окружности диска радиуса R шарнирно присоединен рычаг, несущий на своих концах сосредоточенные массы m1 и m2. Расстояния масс от шарнира соответственно равны l1 и l2. Диск вращается около вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости, с угловой скоростью ω. Составить уравнение движения рычага и определить его относительное положение равновесия. Массой рычага пренебречь. Ось вращения рычага параллельна оси вращения диска. Решить также задачу в предположении, что диск вращается в вертикальной плоскости (учесть действие силы тяжести).РЕШЕНИЕ

48.21 Тонкий диск массы М может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы т: Уравнения относительного движения точки в декартовых координатах x и y, связанных с диском и имеющих начало в его центре масс, заданы в виде x = x(t), y = y(t). Момент инерции диска относительно его центра масс равен J. Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен.РЕШЕНИЕ

48.22 По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль окружности радиуса R движется материальная точка с относительной скоростью v = at. Найти закон движения диска.РЕШЕНИЕ

48.23 Материальная точка M движется под действием силы тяжести по прямолинейному стержню AB, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси. Стержень AB образует угол α с горизонталью. Найти закон движения точки.РЕШЕНИЕ

48.24 Материальная точка массы m движется по круговой рамке радиуса a, которая вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикального диаметра AB. Составить уравнение движения точки и определить момент M, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.РЕШЕНИЕ

48.25 Тело массы т может вращаться вокруг горизонтальной оси 0 102, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси OC. Центр масс тела G лежит на расстоянии l от точки O3 на прямой, перпендикулярной O1O2. Предполагая, что оси O1O2 и O3G являются главными осями инерции тела в точке O3, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны A, B, C.РЕШЕНИЕ

48.26 Однородная нить, к концу которой привязан груз A массы m, огибает неподвижный блок B, охватывает подвижный блок C, поднимается вверх на неподвижный блок D и проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привязан груз E массы m. К оси блока C прикреплен груз K массы m1. Коэффициент трения скольжения груза E о горизонтальную плоскость равен f. При каком условии груз K будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза K. Массами блоков и нити пренебречь.РЕШЕНИЕ

48.27 Два груза D и E массы m каждый привязаны к концам нерастяжимой нити. Эта нить от груза E идет через неподвижный блок A, затем охватывает подвижный блок B, возвращается вверх на неподвижный блок C, соосный с блоком A, проходит параллельно гладкой наклонной плоскости, где к концу нити привязан груз D. Наклонная плоскость образует угол α с горизонтом. К подвижному блоку B прикреплен груз K массы m1. Коэффициент трения скольжения груза E о горизонтальную плоскость равен f. Массами блоков и нити пренебречь. Выяснить условие, при котором груз K будет опускаться. Найти ускорение этого груза. В начальный момент скорости всех грузов равнялись нулю.РЕШЕНИЕ

48.28 Призма A массы m скользит по гладкой боковой грани призмы B массы m1, образующей угол α с горизонтом. Определить ускорение призмы B. Трением между призмой B и горизонтальной плоскостью пренебречь.РЕШЕНИЕ

48.29 На гладкой горизонтальной плоскости помещена треугольная призма ABC массы m, которая может скользить без трения по этой плоскости; по грани призмы AB катится без скольжения однородный круглый цилиндр массы m1. Определить ускорение призмы.РЕШЕНИЕ

48.30 Через блоки A и B с неподвижными осями переброшен шнур, поддерживающий подвижный блок C; части шнура, не лежащие на концах, вертикальны. Блок C нагружен гирей массы m=4 кг, к концам шнура прикреплены грузы массы m1=2 кг и m2=3 кг. Определить ускорения всех трех грузов, пренебрегая массами блоков и шнура и трением на осях.РЕШЕНИЕ

48.31 Грузы M1 и M2 одинаковой массы m движутся по двум наклонным направляющим OA и OB, расположенным в вертикальной плоскости под углами α и β к горизонту; нить, соединяющая эти грузы, идет от груза M1 через блок O, вращающийся около горизонтальной оси, охватывает подвижный шкив Q, несущий груз M массы m1, и затем через блок O1, надетый на ту же ось, что и блок O, идет к грузу M2. Блоки O1 и O соосные. Определить ускорение w груза M, пренебрегая трением, а также массами блока, шкива и нити.РЕШЕНИЕ

48.32 Решить предыдущую задачу, заменив грузы M1 и М2 катками массы m и радиуса r каждый. Катки считать сплошными однородными круглыми дисками. Коэффициент трения качения катков о наклонные плоскости равен fк. Нити закреплены на осях катков.РЕШЕНИЕ

48.33 Дана система из двух блоков, неподвижного A и подвижного B, и трех грузов M1, M2 и M3, подвешенных с помощью нерастяжимых нитей, как указано на рисунке. Массы грузов соответственно равны m1, m2 и m3, при этом m1<m2+m3 и m2≠m3. Массами блоков пренебречь. Найти, при каком соотношении масс m1, m2 и m3 груз M1 будет опускаться в том случае, когда начальные скорости грузов равны нулю.РЕШЕНИЕ

48.34 Найти ускорение тележки, по платформе которой катится без скольжения круглый цилиндр, если сама тележка скатывается тоже без скольжения по плоскости, наклоненной к горизонту под углом α и параллельной платформе тележки; образующие цилиндра перпендикулярны линиям наибольшего ската платформы. Масса тележки без колес M, масса всех колес m, масса цилиндра M1, колеса считать однородными сплошными дисками.РЕШЕНИЕ

48.35 Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна M1 массы m1, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика M2 массы m2, соединенного с ползуном стержнем AB длины l. Стержень может вращаться вокруг оси A, связанной с ползуном и перпендикулярной плоскости рисунка. Массой стержня пренебречь. Определить период малых колебаний эллиптического маятника.РЕШЕНИЕ

48.36 При наезде тележки A на упругий упор B начинаются колебания подвешенного на стержне груза D. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если m1 — масса тележки, m2 — масса груза, l — длина стержня, c — коэффициент жесткости пружины упора B. Массой колес и всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси x взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора B. Массой стержня пренебречь.РЕШЕНИЕ

48.37 По неподвижной призме A, расположенной под углом α к горизонту, скользит призма В массы m2. К призме B, посредством цилиндрического шарнира O и спиральной пружины с коэффициентом жесткости c, присоединен тонкий однородный стержень OD массы m1 и длины l. Стержень совершает колебания вокруг оси O, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения призмы В и стержня OD определены посредством координат s и φ. Написать дифференциальные уравнения движения материальной системы, состоящей из призмы В и стержня OD, пренебрегая силами трения. Определить период малых колебаний стержня OD, если m1gl cos2α< 2с.РЕШЕНИЕ

48.38 Решить задачу 48.37, считая, что призма A массы m3 движется по гладкой горизонтальной плоскости, а ее положение определяется координатой x.РЕШЕНИЕ

48.39 Материальная точка A массы m1 движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса l. Материальная точка B массы m2, присоединенная к точке A посредством стержня AB длины l, может колебаться вокруг оси A, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек A и B определены с помощью углов α и φ, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня AB пренебречь. Указание. Пренебречь членами, содержащими множители φ 2 и α 2, а также считать sin(φ-α)≈φ-α, cos(φ-α)≈1, sin α≈α, sin φ≈φ.РЕШЕНИЕ

48.40 Шероховатый цилиндр массы m и радиуса r катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы M и радиуса R, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси O. Моменты инерции цилиндров относительно своих осей равны mr2/2 и MR2. Составить уравнения движения системы и найти их первые интегралы.РЕШЕНИЕ

48.41 Однородный диск радиуса R, имеющий массу M, может вращаться вокруг своей горизонтальной оси O. К диску на нити AB длины l подвешена материальная точка массы m. Составить уравнения движения системы.РЕШЕНИЕ

48.42 Диск системы, описанной в предыдущей задаче, вращается с постоянной угловой скоростью ω. Составить уравнение движения материальной точки.РЕШЕНИЕ

48.43 Составить уравнения движения математического маятника массы m, подвешенного на упругой нити; длина нити в положении равновесия l, ее жесткость равна c. Найти движение маятника для случая малых колебаний. В качестве обобщенных координат взять угол φ отклонений маятника от вертикали и относительное удлинение нити z.РЕШЕНИЕ

48.44 Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец прикреплен к неподвижной точке O. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пренебрегая массой нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра.РЕШЕНИЕ

48.45 Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебании цилиндра, если движение началось из состояния покоя и при t = 0, ρ = ρ0, φ = φ0РЕШЕНИЕ

48.46 Определить движение системы, состоящей из двух масс m1 и m2, насаженных на гладкий горизонтальный стержень (ось Ох), массы связаны пружиной жесткости с и могут двигаться поступательно вдоль стержня; расстояние между центрами масс при ненапряженной пружине равно l; начальное состояние системы при t = 0 определяется следующими значениями скоростей и координат центров масс: x1 = 0, x1 = u0, x2 = l, x2 = 0РЕШЕНИЕ

48.47 Система, состоящая из двух одинаковых колес радиуса а каждое, могущих независимо вращаться вокруг общей нормальной к ним оси O1O2 длины l, катится по горизонтальном плоскости. Колеса связаны пружиной жесткости c, работающей на кручение (упругий торсион). Масса каждого колеса М; С- момент инерции колеса относительно оси вращения, А — момент инерции колеса относительно диаметра. Составить уравнения движения системы и определить движение, отвечающее начальным условиям φ1=0, φ1 =0, φ2 = 0, φ2 = ω (φ1, φ2 — углы поворота колес). Массой оси пренебречь.РЕШЕНИЕ

bambookes.ru


Смотрите также