Математическая модель асинхронного двигателя в неподвижной системе координат с переменными iR-fR. Математическая модель двигателя


2. Построение математической модели двигателя постоянного тока и системы тестирования

2.1 Математическая модель дпт

Важное свойство ДПТ с независимым возбуждением от постоянных магнитов состоит в том, что результирующий момент сил от всех проводников якоря, называемый электромагнитным моментом двигателя M, пропорционален току якоряIя, потребляемому двигателем от источника питания вычисляется по формуле 2.1:

(2.1)

где km - коэффициент пропорциональности, называемый постоянной момента двигателя. Его размерность [Нм/А].

По законам электромагнитной индукции в проводнике, движущемся в магнитном поле, возникает электродвижущая сила. Суммарная ЭДС катушек якоря E через коллектор и щетки прикладывается к внешним выводам двигателя. В двигательном режиме работы эта ЭДС направлена против внешнего напряжения Uя, подведенного к якорю от источника питания. Поэтому ЭДС двигателя часто называется противоЭДС. Она прямо пропорциональна угловой скорости вращения вала двигателя ωдв[рад/с] (формула 2.2):

(2.2)

где kω - коэффициент пропорциональности, называемый постоянной ЭДС двигателя. Его размерность [Вс/рад].

Природа электромагнитных явлений в ДПТ такова, что если используется система единиц СИ, то значения коэффициентов kω и km численно равны.

Рассмотрим уравнения, описывающие электрические процессы в ДПТ. В электрической якорной цепи двигателя протекает ток Iя под действием напряжения постоянного тока Ua  источника питания и противоЭДС двигателя [15].

Рисунок 2.1 - Якорная цепь двигателя

Эта цепь характеризуется параметрами: активным сопротивлением Rя [Ом] и индуктивностью Lя[Гн] якорной обмотки. Вращающийся ротор, обладающий моментом инерции Ja[Нмс2/рад], приводится в движение одновременным действием электромагнитного момента двигателя Mдв и момента внешних сил Mвн, приложенного к валу двигателя.

Исходные дифференциальные уравнения ДПТ составляются на основании законов физики. Для электрической цепи используется второй закон Кирхгофа, согласно которому можно записать уравнение

(2.3)

где член RяIя характеризует падение напряжения на активном сопротивлении якорной цепи в соответствии с законом Ома, а членLя(dIя/dt) отражает наличие ЭДС самоиндукции, возникающей в обмотке при изменении тока якоря. В уравнении 2.3 не учитывается падение напряжения на щетках, зависящее нелинейно от тока якоря, но имеющее, как правило, относительно небольшое значение по сравнению с напряжениемUя.

Дифференциальное уравнение, характеризующее процессы в механической части двигателя, составляется на основании второго закона Ньютона:

(2.4)

где Mвн - момент внешних сил, действующий относительно оси вращения вала двигателя. В уравнении 2.4 не учитывается действие сил трения, возникающих при вращении ротора, но оказывающих относительно слабое действие на ускорение вала ДПТ.

Используя вышеприведенные формулы и приводя дифференциальные уравнения к нормальной форме Коши, получим описание ДПТ в форме:

(2.5)

Для исследования процессов с помощью ЭВМ удобно использовать структурное представление математической модели ДПТ. Для этого преобразуем систему линейных дифференциальных уравнений 2.5 по Лапласу при нулевых начальных условиях. В результате получим систему алгебраических уравнений:

(2.6)

в которых s - переменная Лапласа, а величины Iя(s), wдв(s), Uя(s), Mвн(s) - изображения по Лапласу переменных Iя, wдв, Uя, Mвн соответственно. После эквивалентных преобразований системы 2.6 эти уравнения могут быть представлены в форме:

(2.7)

где Тэ = Lя/Rя - электромагнитная постоянная времени якорной цепи двигателя.

По уравнениям 2.7 может быть сформирована структурная схема ДПТ для его математического моделирования (рисунок 2.2) [15].

Важным параметром ДПТ, определяющим его динамические свойства, является электромеханическая постоянная времени двигателя, вычисляющаяся по формуле 2.9:

(2.9)

Рисунок 2.2–Структурная схема ДПТ

Зависимость между электромагнитным моментом двигателя и частотой вращения ротора в установившемся режиме при постоянных Uя и Mвн называется механической характеристикой двигателя. Уравнение механической характеристики имеет вид:

(2.10)

При пуске двигателя, когда скорость равна нулю, развивается пусковой момент, определяющийся по формуле 2.11:

(2.11)

Частота вращения вала двигателя при отсутствии сопротивления называется частотой вращения холостого хода, которая находится по формуле 2.12 [15]:

(2.12)

studfiles.net

Математическая модель асинхронного двигателя в неподвижной системе координат с переменными iR-fR

Обобщенная асинхронная машина показана на рис. 1 [1] ÷ [3]:

rs, ls, lms – параметры статорной обмотки,

rr, lr, lmr – параметры роторной обмотки,

|lmsr|=|lmrs|=|lm| – коэффициенты взаимоиндуктивности.

 

 

 

 

Рис.1. Обобщённая асинхронная машина

 

Основные уравнения математической модели АД в мгновенных значениях переменных:

                      

           

             

             

      

         

         

1. Вектор потокосцепления статора АД

Вектор потокосцепления статора является центральным понятием при математическом  моделировании асинхронного двигателя, который в дальнейшем будут использован в замкнутых системах векторного управления.

Пространственный вектор потокосцепления статора:

,                                                                  (13)

где         , ,  - единичные пространственные векторы.

Уравнения (7) ÷ (9) представим по трем столбцам соответствующих индуктивностей:

                                                            

Первое уравнение умножим на единичный пространственный вектор , второе – на , и последнее уравнение - на . С целью уменьшения громоздкости получаемых выражений вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем сумму в соответствии с формулой (13).

Мгновенные значения токов в АД:

   

,

где    .

где

Обозначим ; ; ; .

Окончательно, вектор потокосцепления статора[1] ÷ [3]:

                                                                         (14)

2. Вектор потокосцепления ротора АД

                                      ,                                (15)

    

    

    

  

Уравнения (16) ÷ (18) представим по трём столбцам соответствующих индуктивностей:

                                                            

Первое уравнение умножим на , второе – на , третье – на . Вначале произведем суммирование отдельно по вертикальным столбцам, а затем приведем полную сумму в соответствии с формулой (15).

,

где                                                                                                                                            

Обозначим ; ; ; .

Окончательно, вектор потокосцепления ротора:

                                                                          (19)

 

3. Векторные уравнения АД в различных системах координат

Основные уравнения асинхронного двигателя в векторной форме имеют вид:

                                                       

                                                                                                     

                                                                                         

                                                                                       

Сделаем существенное замечание по полученным обобщенным векторам. В уравнении (20) векторы , ,  записаны в неподвижной системе координат статора, но в некоторых задачах их необходимо привести к системе координат связанных с ротором. Рассмотрим схему преобразования одного из векторов, например,  из одной системы координат в другую. Поясним это преобразование на следующем рис.2.

Рис.2. Система координат S, R, K.

 – неподвижная система координат статора ;  – система координат, связанная с ротором,  – произвольная система координат,  - угол сдвига к и .

 – обобщенный вращающийся вектор напряжения статора.

 и  – этот же вращающийся вектор напряжения статора в системах координат ротора  и  соответственно.

Связь между векторами в разных системах координат:

Система уравнений (20) – (23) примет следующий вид:

                                             ,                                                 (24)

где , ,  – записаны в не подвижной системе координат статора .

                                                                                             (25)

где , ,  – обобщённые вектора роторных величин в роторной системе координат R.

                                              ,                                    (26)

где , , – векторы потокосцепления и ток статора в неподвижной системе координат S, а  – в роторной системе координат сдвинутой в неподвижной системе на угол .

                                                                                (27)

где , , – векторы потокосцепления и ток ротора в роторной системе координат R, а  – в неподвижной системе координат .

 

3.1 Рассмотрим приведение вышеприведённых уравнений к неподвижной системе координат статора

Уравнение (20) уже записано в статорной системе координат, поэтому показываем процесс приведения следующего уравнения. Для этого умножим обе части уравнение (21) на :

                                             .

В соответствии с вышерассмотренной схемой приведения векторов из одной системы координат в другую, получим:

                                              и .

Выражение  преобразуем к следующему виду:

Окончательно .

                                                                         (28)

В выражении  представим:  тогда

                                             .                                             (29)

В уравнении (27) умножим обе части на :

                                             ,

                                             .                                            (30)

Окончательно уравнения (24) ÷ (27) в статорной системе координат примет следующий вид:

3.2 Выполним приведение уравнений (24) ÷ (27) к роторной системе координат

Умножим обе части уравнение (24) на :

                                          

Уравнение (25) перепишем без изменений, т.к. оно уже записано в роторной системе координат:

                                            

Уравнение (26) умножим обе части на :

,

                                            

В уравнении (27) выразим , тогда

,

                                            

Окончательно в роторной системе координат уравнения (24) ÷ (27) имеют следующий вид:

                                            

                                                                                                                                                              

3.3 Приведение уравнений (24) ÷ (27) к системе координат вращающейся с произвольной скоростью

Уравнение (24) умножим на  и сразу выразим :

,

,

.

Уравнение (25) умножим на :

,

              .

Уравнение (26) умножим на , тогда

, т.к. , то

                                    .

Уравнение (27) умножим на , тогда

                                    .

Для системы координат вращающейся с произвольной скоростью  система уравнений:

                                                                          (31)

                                                             (32)

                                                                                           (33)

                                                                                           (34)

                                                                                                     (35)

Зададим базовые величины (параметры):

; ; ,

где  - номинальные действующее фазное напряжение двигателя;  - номинальный фазный ток двигателя.

; ; ; ;.

Обозначим относительные величины (параметры):

;; ; ;  ; ,

где  – механическая скорость вращения вала;  - число пар полюсов.

; ;  ;; ; ;

В уравнении (31) сделаем следующие преобразования, обе части разделим на :

.

В квадратных скобках выделены соответствующие относительные величины.

Аналогичные преобразования произведем в (32) уравнении:

,

Для уравнения (33), умножим обе части уравнения на :

,

Аналогично в уравнении (34), умножим обе части на :

,

В уравнении (35) обе части разделим на :

,

Система уравнения асинхронного двигателя с коротко замкнутым. ротором:

                                                   (36)

                                                                        (37)

                                                                                                  (38)

                                                                                                  (39)

Определим электромагнитный момент через векторное произведение [1, c. 238]:

Выразим из уравнения (39) :

В уравнение (38) подставим :

Обозначим , , , тогда

.

В уравнение (36) исключим  и :

Из уравнения (37) выразим :

.

Подставим в предыдущее уравнение:

Обозначим , , где ,

В итоге получилось два уравнения:

                                      (40)

                                                                                     (41)

В уравнении (40) разделим обе части на  и обозначим :

Рассмотрим процессы в неподвижной системе координат, , :

                                      (42)

                                                                                    (43)

Вещественную ось обозначим , мнимую через - . Пространственные вектора в этом случае разложим по осям:

; ; .

Подставим эти значения в уравнения (42) ÷ (43) и, приравняв отдельно вещественные и мнимые части, получим:

С учетом электромагнитных моментов [1, c. 238] система уравнений в операторной форме  примет вид:

                          (44)

                            (45)

                                                                            (46)

                                                                            (47)

                                                                                               (48)

                                                                   (49)

Структурная схема для уравнения(44):

Структурная схема для уравнения(45):

Структурная схема для уравнения(46):

Структурная схема для уравнения(47):

Структурная схема для уравнения (48):

Структурная схема для уравнения (49):

Для моделирования выберем АКЗ со следующими паспортными данными и параметрами: , , , , , , ,  , , , , , .

Значения безразмерных коэффициентов в уравнениях, рассчитанные по выражениям, приведенным выше:

Коэффициент

Значение

262.36

6.4

0.97

0.97

0.0152

0.0165

0.203

200

Модель АКЗ, построенная по уравнениям (44) ÷ (49), представленная на рис. 3.

На вход модели в момент времени подаются напряжения , , (), тем самым реализуя прямой пуск.

Осциллоскопы измеряют относительные значения электромагнитного момента и скорости. Результаты моделирования представлены на рис. 4. Они показывают, что при прямом пуске вначале наблюдается значительные колебания момента. Такие же колебания наблюдаются в токе и скорости. Кроме того они показывают, что при приложении момента нагрузки наблюдается уменьшение скорости.

Рисунок 3. Модель АКЗ в неподвижной системе координат с переменными

Рисунок 4. Результаты моделирования, относительные значения электромагнитного момента и скорости

1.    Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов

переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. Екатеринбург: УРО РАН, 2000. 654 с.

2.    Герман-Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем Matlab 6.0: Учебное пособие. – Спб.: Корона принт. 2001. – 320с., ил.

3.    Ковач К.П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока/Пер. с нем. М.Л.: Госэнергоиздат, 1963. 735 с.: ил.

moluch.ru

Разработка математической модели двигателя внутреннего сгорания с использованием программного комплекса PRADIS

Разработка математической модели двигателя внутреннего сгорания с использованием программного комплекса PRADIS

авторы: профессор, д.ф.-м.н. Карпенко А. П., Мухлисуллина Д. Т., Овчинников В. А.

УДК 519.6

 

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5.

Карпенко А.П. karpenko@nog.ru, Мухлисуллина Д.Т. D.Mukhlisullina@mail.ru, Овчинников В. А.laduga@laduga.com

 

 

 

"Если мы попытаемся включить в модель слишком много черт действительности, то мы захлебнёмся... Если, наоборот, оробев от столь мрачных перспектив, мы построим слишком упрощённую модель, то вскоре обнаружим, что она не предсказывает дальнейший ход явлений настолько, чтобы удовлетворить нашим требованиям. Следовательно, учёный... должен идти прямой и узкой тропой между Западнями Переупрощения и Болотом Переусложнения ".

 

Р. Беллман

 

Введение

 

В силу сложности и многообразия задач, сопровождающих моделирование автомобильных двигателей внутреннего сгорания (ДВС), возникает необходимость разработки систем автоматизированного проектирования ДВС (САПР ДВС). Эти САПР должны включать в себя математические модели шатунно-поршневой группы и газораспределительного механизма (механика), систем впуска и выпуска (газовая динамика), систем топливоподачи и охлаждения (гидравлика) и т.д.

     Целью работы является построение параметризованной трехмерной модели механической подсистемы ДВС, которая позволяет конструктору исследовать выходные характеристики ДВС в зависимости от интересующих его параметров двигателя и на этой основе решать задачу оптимизации ДВС.

В качестве базовой САПР используется комплекс анализа динамики систем различной физической природы – PRADIS [1]. Важным преимуществом комплекса перед другими подобными программными системами является большая библиотека моделей, включающая в себя

·     модели одномерных, двухмерных и трехмерных механических элементов,

·     модели электронных компонентов,

·     модели гидравлических и пневматических компонентов,

·     модели элементов сплошной среды,

·     модели контактных элементов и т.д.

Одним из активных пользователей комплекса PRADISявляется ОАО АВТОВАЗ. В этой связи в настоящее время в комплексе активно развивается автомобильный модуль. Рассматриваемая в работе модель ДВС является частью этого модуля.

     Разработанная модель ДВС использована для исследования работы одно-, двух- и  четырехцилиндрового восьмиклапанного рядного автомобильного двигателя внутреннего сгорания с верхним расположением газораспределительного механизма.

 

1.  Структура модели

     Основными элементами модели двигателя являются маховик FLYWHEEL, передача DRIVE, подшипник коленчатого вала ROT и набор цилиндров CYLINDER. Общая структура модели представлена Рис. 1. Здесь и далее для представления структуры моделей используется входной графический язык препроцессора Qucs [1].

 

Рис. 1. Qucs- схема четырехцилиндрового двигателя с испытательным стендом.

 

     Маховик FLYWHEEL представлен библиотечной моделью, которая отображает инерционные свойства произвольного твердого тела при его пространственном движении.

Модуль DRIVE моделирует ременную или цепную передачу, служащую для передачи вращения от коленчатого вала на распределительный вал. Модель учитывает потери в передаче, которые определяются моментом трения в передаче.

     Подшипник ROT моделируется с помощью библиотечного цилиндрического шарнира. Модель учитывает упругие и вязкостные свойства подшипника [1].

 

2.  Модель цилиндра

     Модель цилиндра CYLINDERявляется наиболее сложным элементом модели двигателя. Модель состоит из модуля кривошипно-шатунного механизма и модуля участка системы газораспределения.

     Схема модуля кривошипно-шатунного механизма представлена на Рис. 2. Модуль включает в себя модель кривошипа CRANKSHAFTс противовесами COUNTERWEIGHT, которые образуют участок коленчатого вала, модель шатуна CONNECTING_ROD, а также модели поршня PISTON и системы индикаторного процесса INDICATE_PROCESS_SYSEM. Последняя модель по заданной зависимости давления газов в цилиндре двигателя от угла поворота кривошипа формирует силу, действующую на поршень. Указанная зависимость может быть задана, как в аналитическом виде, так и в виде таблицы значений.

Схема модуля участка системы газораспределения представлена на Рис. 3. Модуль включает в себя модели участка распределительного вала CAMSHAFT, кулачка CAM, клапана VALVE и пружины SPRING с тарелками TOP_PLATE и BOTTOM_PLATE.

 

 

Рис. 2. Qucs-схема кривошипно-шатунного механизма.

Рис. 3. Qucs-схема участка газораспределительного механизма

 

Модели коленчатого и распределительного валов, а также стержней клапанов построены на основе библиотечной    модели упругого пространственного прямолинейного балочного элемента. Эта модель отражает упругие деформации элемента в результате его растяжения (сжатия), изгиба и кручения вокруг продольной оси, а также перемещения элемента в трехмерном пространстве. В качестве модели шатуна использован такой же балочный элемент, но со смещенным центром тяжести. Имеется возможность использования также библиотечной модели произвольного упругого тела с податливостью, которая рассчитывается с помощью конечно-элементного модуля решателя комплекса PRADIS.

Модели поршней, тарелок, клапанам и маховика, построены на основе библиотечной модели трехмерной инерционной массы. Противовесы моделируются с помощью той же модели трехмерной массы, но со смещенным центром тяжести.

Подшипники коленчатого и газораспределительных валов моделируются с помощью библиотечных моделей цилиндрических шарниров.

     Модель контакта между поршнем и цилиндром представляет собой библиотечную модель цилиндрического шарнира, которая позволяет моделировать зазоры, нелинейную податливость, а также нелинейную вязкость в различных направлениях.

     В модели системы газораспределения используется модель дискового кулачка с роликовым толкателем. Возможно также использование модели кулачка с тарельчатым толкателем. Профиль кулачка описывается кубическим сплайном, что обеспечивает гладкую зависимость силы, действующей на толкатель, от угла поворота кулачка. Моделируются податливость и инерция кулачка и ролика, трение скольжения и качения между кулачком и роликом.

     Пружины моделируются с помощью библиотечной модели упругого линейного пространственного элемента. Имеется возможность задать нелинейную упругую характеристику пружины в виде таблицы значений "деформация - усилие".

 

3.  Модель испытательного стенда

     В стационарных условиях ДВС испытывают в отведенных для этой цели и соответствующим образом оборудованных помещениях (боксах) на специальных стендах (Рис. 4) [2]. При этом эффективная мощность, развиваемая двигателем, поглощается тормозной установкой.

 

 

 

Рис. 4. Схема стенда для испытания двигателя внутреннего сгорания:

ОГ – отработанные газы

     Модель испытательного стенда TEST_DESK представлена на Рис. 5. В модели тормозной установки используются библиотечные модели демпфера VISCOSITYи упругого элемента SPIRAL_SPRING. Элемент модели POWER_CALCULATIONпозволяет автоматически на основе момента и частоты вращения коленчатого вала двигателя вычислять его мощность.

 

4.  Исследование модели и результаты

     Для формирования математической модели исследуемой системы в программном комплексе PRADISиспользуется расширенный узловой метод для механических систем [1]. Решатель PRADISреализует несколько методов интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). При исследовании модели ДВС для интегрирования систем ОДУ использовался неявный метод Штермера [3], для решения систем нелинейных алгебраических уравнений - метод Ньютона, для решения систем линейных алгебраических уравнений - метод Гаусса для разреженных матриц.

Рис. 5. Qucs-схема стенда для испытания двигателя внутреннего сгорания.

Модели всех элементов ДВС являются параметризованными. В качестве параметров моделей используются геометрические характеристики двигателя (диаметр цилиндра, ход поршня, длины валов), инерционные характеристики деталей (массы и моменты инерции), физические свойства материалов и характеристики соединений (жесткость, вязкость). Все параметры моделей имеют значения по умолчанию, что позволяет конструктору сосредоточиться только на наиболее важных параметрах. Отметим, что в комплексе PRADIS параметризация моделей реализована на языке программирования Python[1].

     На основе рассмотренных моделей элементов ДВС построены модели одно-, двух- и четырехцилиндрового восьмиклапанного двигателей, а также выполнен анализ их внешних скоростных характеристик, определяющих зависимость мощности и крутящего момента двигателя от числа оборотов его коленчатого вала при полной подаче топлива [4]. Некоторые результаты исследования представлены на Рис. 6, 7.

 

 

Рис.6. Зависимость крутящего момента от частоты вращения коленчатого вала одноцилиндрового (), двухцилиндрового () и четырехцилиндрового () двигателей.

 

     Результаты исследования показывают хорошее согласие с данными, полученными экспериментальным путем, что подтверждает адекватность разработанной модели.

Рис.7. Зависимость мощности от частоты вращения коленчатого вала одноцилиндрового (), двухцилиндрового () и четырехцилиндрового () двигателей.

 

Заключение

     При разработке модели ДВС использован модульный подход, так что модель может быть использована для построения моделей двигателей с различными конструктивными решениями: рядных двигателей; V- или W–образных двигателей; оппозитных двигателей и т.д.

     Построенная модель ДВС позволяет исследовать работу кривошипно-шатунного механизма двигателя, его газораспределительной системы, рассчитать неравномерность вращения вала, колебания силового агрегата на опорах и т.д.

     Все разработанные модели элементов ДВС являются параметризованными, что позволяет конструктору двигателя за короткий срок рассмотреть различные варианты его построения и выбрать оптимальный вариант. Меняя параметры моделей, можно, например, снизить колебания двигателя и этим повысить комфортность автомобиля, снизить расход горючего и т.д. [3]. При поиске оптимального решения, естественно, следует учитывать ограничения на массу элементов и всего двигателя, на прочность элементов и геометрию деталей и т.д. Таким образом, параметрический синтез ДВС сводится к задаче многомерной условной, вообще говоря, многокритериальной оптимизации и требует наличия в САПР ДВС программных компонентов, реализующих методы решения таких задач.

 

Литература

1.    PRADIS - анализ динамики систем различной физической природы [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.laduga.ru/pradis/pradis.shtml , свободный.

2.    Кухаренок Г.М., Петрученко А.Н., Русецкий И.К. Теория рабочих процессов двигателей внутреннего сгорания. Лабораторные работы (практикум) для студентов специальности «Двигатели внутреннего сгорания». Белорусский национальный технический университет. Минск, 2005. - 55с.

3.    Жоголев Е.А. Программа интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка методом Штермера // Вычислительные методы и программирование. T. I. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962.

4.    Вырубов Д.Н. Двигатели внутреннего сгорания: Конструирование и расчет на прочность поршневых и комбинированных двигателей. Учебник для студентов втузов, обучающихся по специальности «Двигатели внутреннего сгорания». –М.: Машиностроение, 1984. – 384 с.

engineering-science.ru

Математическая модель асинхронного двигателя с переменными в произвольной системе координат

Данная работа является продолжением опубликованной статьи [1], в которой были подробно показаны без сокращений способы и технологии получения пространственных векторов , , , , , , в системе абсолютных единиц.

В работах [2; 3] приведено множество вариантов конечных результатов электромагнитного момента в зависимости от произведения проекций двух векторов (  и т.д.). В этой статье сделан вывод одного из множества математических моделей асинхронного двигателя и сравнение полученных уравнений и структурной схемы с фундаментальной работой [3].

Итак, в работе [1] были получены основные уравнения асинхронного двигателя в произвольной системе координат :

Переведем эти уравнения в систему относительных единиц.

 В уравнениях (1) и (2) обе части разделим на :

                                                                                     (5)

                                                                              (6)

В уравнениях (3) и (4) обе части умножим на:

                                                                                                          (7)

                                                                                                          (8)

Итак, основные уравнения асинхронного двигателя с к. з. ротором () имеют следующий вид:

 

Электромагнитный момент определяется по формуле [2, c.131]:

                                                                                        (13)

Уравнение движения:

                                                                                                            (14)

Так как электромагнитный момент определяется через переменные и , то из уравнений исключим переменные и .

Из уравнения (12) выразим :

Обозначим , тогда

                                                                                                        (15)

Из уравнения (11) исключим :

Обозначим , тогда

Обозначим .

Тогда

                                                                                                 (16)

В уравнении (10) подставим    :

                                                  (17)

Отсюда выразим

                                                       (18)

В уравнении (17) перейдем к оператору  и разложим векторы и на проекции:

         (*)

Проекция уравнения (*) на ось    +1:

                                               (19)

Проекция уравнения (*) на ось     +j:

                                               (20)

Из уравнения (20):

Разделим обе части полученного уравнения на ():

Тогда

В соответствии с [3] перейдем к переменным   и

Выразим

                                                  (21)

Рис. 1. Структурная схема для определения .

 

Аналогично для уравнения (19):

Разделим обе части уравнения на :

                                               (22)

Полученному уравнению (22) соответствует следующая структурная схема:

Рис. 2. Структурная схема для определения .

Из уравнения (9) исключим :

Подставим в это уравнение  из уравнения (18):

Обозначим :

,

где 

Переведем уравнения с в изображениях, для этого выразим

Выразим векторы , и  через проекции:

  

           (**)

Проекция уравнения (**) на действительную ось    +1:

                                 (23)

Проекция уравнения (**) на мнимую ось     +j:

                                 (24)

Из уравнения (17) выразим :

Структурная схема для реализации тока в MatLab-Simulink дана на рис. 3.

Рис. 3. Структурная схема проекции статорного тока  на ось +1.

 

Аналогично из уравнения (24) выразим :

Структурная схема, соответствующая этому уравнению, представлена на рис. 4.

Рис. 4. Структурная схема проекции статорного тока  на ось +j.

 

Структурная схема для реализации уравнения (13) дана на рис. 5:

Рис. 5. Математическая модель электромагнитного момента m.

 

Наконец для уравнения (14):

Структурная схема дана на рис. 6.

Рис. 6. Математическая модель уравнения движения.

 

На рис. 7. Представлены субблоки из математической модели АД, преобразователя координат и блока ориентации.

Рис. 7. Система из математической модели двигателя, преобразователя координат и блока ориентации.

 

Рис. 8. Блок ориентации.

 

 

 

 

moluch.ru

2.3. Исследование простейшей математической модели работы газотурбинного двигателя

Газотурбинный двигатель (ГТД) является основной силовой установкой современных самолетов.

Схема ГТД имеет вид, показанный на рис. 2.5.

Здесь 1– входной диффузор;2– компрессор;3– камера сгорания;4– турбина;5– выходное сопло.

Цикл работы ГТД включает следующие этапы:

  1. Набегающий со скоростью Vпоток воздуха через диффузор поступает в компрессор.

  2. Компрессор, вращаясь на одном валу с турбиной, сжимает воздух, который поступает в камеру сгорания.

  3. В камеру сгорания постоянно впрыскивается топливо (керосин), которое смешивается со сжатым воздухом.

  4. Газ, образующийся от сгорания, поступает на турбину, которая разгоняет его до скорости W.

  5. С этой скоростью газ через сопло выбрасывается в атмосферу.

За счет того, что W>V, образуется сила тягиР, которая позволяет самолету осуществлять полет в атмосфере.

Изменение силы тяги осуществляется путем изменения скорости впрыска топлива в камеру сгорания с помощью перемещения ручки управления двигателем (РУД). Перемещение РУД на определенный угол РУДосуществляется либо вручную летчиком, либо с помощью исполнительного устройства по сигналам от САУ полетом. Увеличение значенияРУДвызывает возрастание силыР, а уменьшение – убывание этой силы.

ГТД является сложной технической системой, в которой протекает значительное число физических и химических процессов. Двигатель оснащен всевозможными устройствами автоматики, системами поворота и охлаждения турбинных лопаток и т.д. Естественно, математическое описание функционирования ГТД также будет достаточно громоздким, включающим в себя системы дифференциальных уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений, трансцендентных функций, алгоритмы цифровой системы управления двигателем. Такие модели используются в процессе проектирования ГТД.

Для решения задач управления полетом используется более простая модель ГТД, представляющая собой зависимость силы тяги Рот углаРУДотклонения РУД. Процесс изменения силы тяги описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида:

, (2.11)

где > 0 – постоянная времени двигателя, зависящая кроме конструктивных характеристик также от температуры окружающего воздуха, его влажности и других внешних факторов;k[кг/град] – коэффициент пропорциональности.

Начальное условие для уравнения (2.11) записывается как

Р(0) =Р0. (2.12)

Таким образом, уравнение (2.11) совместно с начальным условием (2.12) представляет собойпростейшую математическую модель работы ГТД, записанную в виде обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Для определения коэффициента пропорциональности kиспользуются градуировочные графики зависимости тяги от угла поворота РУД, построенные на основе экспериментальных данных. Тангенс угла наклона графика равен искомому коэффициенту.

Интегрирование уравнения (2.11) с начальным условием (2.12) позволяет выяснить, как изменяется сила тяги во времени (рис. 2.6).

При отклонении РУД тяга Рнарастает и затем стабилизируется на определенном предельном значении, т.е. ГТД является инерционным объектом.

Предельное значение силы тяги получаем из (2.11), когда скорость ее изменения равна нулю:

. (2.13)

Длительность нарастаниязависит от значения постоянной времени двигателя. Процесс считается установившимся приt = tуст , когда тяга входит в так называемый пятипроцентный коридор от предельного значения силы тяги (рис. 2.6). Чем больше, тем инерционнее двигатель и, следовательно, большеtуст.

На рис. 2.7 показано поведение силы тяги в зависимости от угла отклонения РУД при= 0,5.

Сила тяги при взлете, когда РУД отклонена на 10°, выходит на установившийся режим на третьей секунде и достигает величины 3390 кг. Через десять секунд после взлета, когда РУД отклонена на 20°, сила тяги устанавливается на величине 6780 кг, и еще через десять секунд, когда РУД отклонена на 30°, сила тяги устанавливается на величине 10170 кг. Предельное значение силы тяги равно 14270 кг.

studfiles.net

Математическая модель асинхронного двигателя с переменными ΨR - IS в системе абсолютных единиц на основе интегрирующих звеньев



В наших статьях, рассматривающих электромеханические переходные процессы в линейных асинхронных двигателях, математическое моделирование дано в системе абсолютных единиц. При рассмотрении системы автоматического регулирования скорости в асинхронных двигателях регуляторы тока и скорости определяются из параметров математической модели асинхронного двигателя. В зависимости от принятой системы единиц (абсолютных или относительных) параметры регуляторов будут различны.

Данная работа является развитием статьи [1], в которой переменные и определялись на выходе апериодических звеньев. В этой статье эти переменные получены с интегрирующих звеньев, что существенно изменяет возможности математической модели асинхронного двигателя.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Так как электромагнитный момент определяется через переменные и , то из этих уравнений исключим переменные и .

Из уравнения (4) выразим :

Обозначим , где о. е. и , тогда

(7)

Из уравнения (3) исключим :

Обозначим , тогда

Преобразуем выражение в скобке:

где

Тогда

.

(8)

В уравнение (2) подставим :

(9)

где

Отсюда выразим:

(10)

В уравнении (9) перейдем к оператору и разложим векторы и на проекции:

(11)

Проекция уравнения (11) на ось +1:

(12)

Обозначим

где

В результате получим уравнение, которое было рассмотрено нами в работе [1] при получении переменной на выходе апериодического звена:

Для получения переменной на выходе интегрирующего звена раскроем скобки в левой части:

Перенесем первое слагаемое в правую часть:

Наконец, переменная выразится через интегрирующее звено:

(13)

Этому уравнению (13) соответствуют структурная схема и оболочка, представленные на рис. 1 и 2.

Рис. 1. Структурная схема для определения

Рис. 2. Оболочка для определения

Проекция уравнения (11) на ось+j:

(14)

Для получения переменной на выходе интегрирующего звена раскроем скобки в левой части перенесем первое слагаемое в правую часть:

(15)

Полученному уравнению (15) соответствуют структурная схема и оболочка, показанные на рис. 3 и 4.

Рис. 3. Структурная схема для определения

Рис. 4. Оболочка для определения

Из уравнения (1) исключим :

(*)

Подставим в (*):

Подставим в это уравнение из уравнения (10):

Переведем уравнение в изображения, для этого выразим :

Выразим векторы , и через проекции:

(16)

Проекция уравнения (16) на действительную ось +1:

(17)

Проекция уравнения (16) на мнимую ось +j:

(18)

Из уравнения (17) выразим :

Структурная схема и оболочка для реализации тока в Matlab-Simulink даны на рис. 5 и 6.

Рис. 5. Структурная схема проекции статорного тока на ось+1

Рис. 6. Оболочка проекции статорного тока на ось+1

Аналогично из уравнения (18) выразим :

Структурная схема и оболочка, соответствующие этому уравнению, представлены на рис. 7 и 8.

Рис. 7. Структурная схема проекции статорного тока на ось+j

Рис. 8. Оболочка проекции статорного тока на ось+j

Структурная схема для реализации уравнения электромагнитного момента дана на рис. 9:

Рис. 9. Математическая модель электромагнитного момента M

Наконец для уравнения (6):

Структурная схема дана на рис. 10.

Рис. 10. Математическая модель уравнения движения

В работе [2] в главе 6 «Примеры» дан образец расчета параметров асинхронного двигателя. В наших дальнейших работах направленных на подготовку студентов к исследовательской работе, глава 6 окажет неоценимую помощь. Можно было бы по аналогии рассмотреть паспортные данные любого другого двигателя, но для проверки правильности выводов уравнений сделанных исследовательской группой самостоятельно, необходимо постоянно выходить на многие полученные результаты в работе [3]. Поэтому, этот пример расчета окажется очень полезным.

Номинальные данные:

Номинальный режим работыS1;

Номинальная мощность

Номинальное фазное напряжение

Номинальный фазный ток

Номинальная частота

Номинальная синхронная скорость

Номинальная скорость ротора

Номинальный КПД

Номинальный коэффициент мощности

Число пар полюсов

Параметры Т-образной схемы замещения при номинальной частоте:

Активное сопротивление обмотки статора

Индуктивное сопротивление рассеяния обмотки статора

Активное сопротивление обмотки ротора, приведенное к статору

Индуктивное сопротивление рассеяния обмотки ротора, приведенное статору

Главное индуктивное сопротивление

Суммарный момент инерции двигателя и механизма

Базисные величины системы относительных единиц:

Напряжение

Ток

Частота

Скорость ротора

Сопротивление

Потокосцепление

Индуктивность

Используя номинальные данные двигателя, определяем:

где – коэффициент, учитывающий различие значений электромагнитного момента и момента на валу двигателя в номинальном режиме ().

В качестве базисной мощности выбираем значение электромагнитной мощности двигателя в номинальном режиме, определяемое по следующей формуле:

Относительные значения параметров схемы замещения двигателя:

Механическая постоянная времени:

Номинальное значение скольжения:

Относительное значение номинальной скорости ротора:

Нормирующий энергетический коэффициент:

При расчете режимов работы, для того чтобы и необходимо откорректировать

где – корректирующий коэффициент [2, с. 296].

- коэффициент, показывающий отношение к .

Основным отличием данной модели от модели двигателя, приведенного в работе [1], является то, что переменные и формируются на выходе интегрирующих звеньев. Это позволяет вынести расчет коэффициентов модели в отдельную подсистему (Raschetkoefficientov). В результате этого выноса остается оболочка из сумматоров, блоков перемножения и интеграторов (Obolochkadvigatela). Общая структура двигателя дана на рис. 11.

Рис. 11. Модель асинхронного двигателя

Оболочка двигателя дана на рис. 12.

Рис. 12. Оболочка математической модели асинхронного двигателя с переменными — в системе абсолютных единиц

Ввод паспортных данных двигателя показан на рис. 13.

Рис. 13. Паспортные данные

Расчет коэффициентов осуществляется в подсистеме Raschetkoefficientov, приведенной на рис. 14.

Рис. 14. Расчет коэффициентов

Результаты моделирования представлены на рис. 15.

Рис. 15. Графики скорости и момента

Литература:
  1. Емельянов А. А., Бесклеткин В. В., Авдеев А. С., Габзалилов Э. Ф., Прокопьев К. В., Ситенков А. А. Математическая модель асинхронного двигателя с переменными ΨR – IS в системе абсолютных единиц // Молодой ученый. – 2016. – №10.
  2. Шрейнер Р. Т. Электромеханические и тепловые режимы асинхронных двигателей в системах частотного управления: учеб. пособие / Р. Т. Шрейнер, А. В. Костылев, В. К. Кривовяз, С. И. Шилин. Под ред. проф. д. т. н. Р. Т. Шрейнера. – Екатеринбург: ГОУ ВПО «Рос. гос. проф.-пед. ун-т», 2008. – 361 с.
  3. Шрейнер Р. Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. – Екатеринбург УРО РАН, 2000. – 654 с.

Основные термины (генерируются автоматически): структурная схема, асинхронный двигатель, уравнение, статорный ток, проекция уравнения, математическая модель, получение переменной, номинальный режим, интегрирующее звено, электромагнитный момент.

moluch.ru

2.2. Математическая модель вентильного двигателя

В основу построения математической модели вентильного двигателя положено математическое описание статорной цепи синхронного двигателя с постоянными магнитами, записанное в системе координат, вращающейся с синхронной скоростью [Л.1, стр. 122]:

где- скорость двигателя,- ЭДС вращения,- потокосцепление обмотки статора от потока постоянных магнитов. Поскольку рассматривается двигатель с неявнополюсным ротором, в котором вектор потокосцепления направлен по осиdвращающейся системы координатd-q,то=fd,fq=0. Благодаря этому электромагнитный момент

описывается выражением.

На основании этих формул построена структурная схема вентильного двигателя во вращающейся системе координат, соответствующая структуре вентильного двигателя, приведенной на рис. 26. Синхронный двигатель получает питание от преобразователя частоты, управляемого током. Инвертор представлен апериодическим звеном с коэффициентом kии постоянной времениТи. Вид структурной схемы инвертора, содержащей перекрестные связи, получился в результате записи входного и выходного напряжений в виде пространственных векторов.

2.3. Расчетная модель системы регулирования скорости с вентильным

двигателем

Расчетная схема, представленная на рис. 29 включает в себя расчетную схему синхронного двигателя, соответствующую рис. 28 с той разницей что расчет выполняется в действующих, а не амплитудных значениях переменных. Поэтому коэффициент, связывающий электромагнитный момент с проекцией вектора тока по оси q, определен как

Элементы синхронного двигателя, включая токовые контуры, выделены на схеме желтым цветом. Предусмотрена возможность выполнять регулятор скорости пропорциональным или пропорционально-интегральным. Сигнал задания скорости может подаваться на вход регулятора скорости непосредственно или через задатчик интенсивности.

Разработанную модель предполагается использовать в лабораторной работе. Для того, чтобы иметь возможность исследовать влияние нагрузки на работу привода, на физической модели предусмотрена нагрузочная машины того же типа, что и исследуемый двигатель. В рассматриваемой математической модели для этого используется модель второго вентильного двигателя, скорость которого задается равной скорости двигателя, а управляющим воздействием является сигнал задания проекции тока статора нагрузочной машины по оси q. Модель нагрузки выполнена, как субсистема и показана на рис.30. При определении момента нагрузки учитывается момент потерь вращения, значение которого определено экспериментальным путем. Есть возможность подавать на двигатель активный момент нагрузки, не используя модель нагрузочной машины.

На рис.31 для обсуждения показана модель бесщеточного двигателя постоянного тока (заимствована из DemosSimPowerSysttms). Её особенность состоит в том, что выходной сигнал регулятора скорости воздействует не на вход контура тока и затем – на вход узла ШИМ, а на напряжение регулируемого источника постоянного тока на входе инвертора. Такое построение системы управления вентильным двигателем требует дополнител.ьного обсуждения

Рис. 29. Расчетная модель системы регулирования скорости с вентильным двигателем

Рис.30. Модель нагрузочной машины (субсистема к рис.29)

Рис.31. Модель бесщеточного двигателя постоянного тока

studfiles.net